Das Gummiband hat am Ende die Länge e*l, also das 2,71-fache.
Das Teilchen auf dem Gummiband hat eine Geschwindigkeit v:
v = dx/dt = v0 ( 1/2 + x/(L+v0*t) )
Damit das Ganze etwas haendischer wird, zwei Substitutionen:
A = v0/L z=x/L
Das ergibt eine Differentialgleichung mit Nebenbedingung:
{ dz/dt - A*(1/2 + z/(1+A*t)=0, z(0)=1/2 }
Deren Loesung:
z(t) = 1/2 (ln(1 + A*t) + 1)*(1 + A*t)
setzt man gleich mit dem Ort, an dem sich das Gummibandende zur Zeit T
befindet, wenn das Teilchen dort ankommt:
z(T) = 1/2 (ln(1 + A*T) + 1)*(1 + A*T) = 1 + A*T
Dies liefert:
T = (e-1)/A z(T) = e
Und schliesslich
x(T) = e * L
==============
Geschwindigkeit und Beschleunigung sind nun auch nicht mehr schwer:
d
---- z(t) = 1/2 A + 1/2 (ln(1 + A t) + 1) A
dt
2 2
d A
----- z(t) = 1/2 -------
2 1 + A t
dt
Die Beschleunigung ist also nicht konstant, wie urspruenglich angenommen, sondern sinkt mit der Zeit!
Eine mathematisch einfachere Lösung mit einer genialen Grundidee, die aber keine Beschleunigungsgleichung liefert, wurde am 11. Jan 2004 von Manfred Ullrich auf der Newsgroup de.sci.physik gepostet. Wen diese interessiert, der suche in den einschlägigen News-Archiven, z. B. bei groups.google.com.